Centralne twierdzenie graniczne

Centralna definicja twierdzenia granicznego

Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że ​​losowe próbki zmiennej losowej populacji o dowolnym rozkładzie będą zbliżać się do normalnego rozkładu prawdopodobieństwa wraz ze wzrostem wielkości próby i zakłada, że ​​gdy wielkość próby w populacji przekracza 30, średnia próby, której średnia wszystkich obserwacji dla próby będzie bliska równej średniej dla populacji.

Centralny wzór twierdzenia granicznego

Omówiliśmy już, że gdy liczebność próby przekracza 30, rozkład przyjmuje postać rozkładu normalnego. Aby określić rozkład normalny zmiennej, ważne jest, aby znać jej średnią i wariancję. Rozkład normalny można określić jako

X ~ N (µ, α)

Gdzie

  • N = liczba obserwacji
  • µ = średnia z obserwacji
  • α = odchylenie standardowe

W większości przypadków obserwacje nie ujawniają wiele w swojej surowej postaci. Dlatego bardzo ważne jest, aby ustandaryzować obserwacje, aby móc to porównać. Odbywa się to za pomocą Z-score. Wymagane jest obliczenie wskaźnika Z dla obserwacji. Wzór na obliczenie wyniku z to

Z = (X- µ) / α / √n

Gdzie

  • Z = Z-score obserwacji
  • µ = średnia z obserwacji
  • α = odchylenie standardowe
  • n = wielkość próby

Wyjaśnienie

Centralne twierdzenie graniczne stwierdza, że ​​losowe próbki zmiennej losowej populacji o dowolnym rozkładzie będą zbliżać się do normalnego rozkładu prawdopodobieństwa wraz ze wzrostem wielkości próby. Centralne twierdzenie graniczne zakłada, że ​​gdy liczebność próby w populacji przekracza 30, to średnia z próby, dla której średnia wszystkich obserwacji dla próby będzie bliska średniej dla populacji. Również odchylenie standardowe próby, gdy wielkość próby przekracza 30, będzie równe odchyleniu standardowemu populacji. Ponieważ próba jest wybierana losowo z całej populacji, a wielkość próby jest większa niż 30, pomaga to w testowaniu hipotez i konstruowaniu przedziału ufności do testowania hipotez.

Przykłady formuły centralnego twierdzenia granicznego (z szablonem programu Excel)

Możesz pobrać ten szablon formuły centralnego twierdzenia granicznego - szablon programu Excel - wzór formuły centralnego twierdzenia granicznego

Przykład 1

Zrozummy pojęcie rozkładu normalnego na przykładzie. Średni zwrot z funduszu wspólnego inwestowania wynosi 12%, a odchylenie standardowe od średniego zwrotu z inwestycji w fundusz inwestycyjny wynosi 18%. Jeśli przyjmiemy, że rozkład zwrotu jest normalny, zinterpretujmy rozkład zwrotu z inwestycji funduszu wspólnego inwestowania.

Dany,

  • Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
  • Odchylenie standardowe wyniesie 18%

Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 95% przedziału ufności, możemy to znaleźć, rozwiązując równanie jako

  • Górny zakres = 12 + 1,96 (18) = 47%
  • Dolny zakres = 12 - 1,96 (18) = -23% 

Wynik oznacza, że ​​w 95% przypadków zwrot z funduszu wspólnego inwestowania będzie się mieścić w przedziale od 47% do -23%. W tym przykładzie wielkość próby, która jest zwrotem losowej próby złożonej z ponad 30 obserwacji zwrotu, dostarczy nam wynik dla zwrotu populacji funduszu wspólnego inwestowania, ponieważ rozkład próby będzie miał rozkład normalny.

Przykład nr 2

Kontynuując ten sam przykład, określmy, jaki będzie wynik dla 90% przedziału ufności

Dany,

  • Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
  • Odchylenie standardowe wyniesie 18%

Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 90% przedziału ufności, możemy to znaleźć, rozwiązując równanie jako

  • Górny zakres = 12 + 1,65 (18) = 42%
  • Dolny zakres = 12 - 1,65 (18) = -18%

Wynik oznacza, że ​​w 90% przypadków zwrot z funduszu wspólnego inwestowania będzie się mieścić w przedziale od 42% do -18%.

Przykład nr 3

Kontynuując ten sam przykład, określmy, jaki będzie wynik dla 99% przedziału ufności

Dany,

  • Średni zwrot z inwestycji wyniesie 12%
  • Odchylenie standardowe wyniesie 18%

Tak więc, aby znaleźć zwrot dla 90% przedziału ufności, możemy to znaleźć, rozwiązując równanie jako

  • Górny zakres = 12 + 2,58 (18) = 58%
  • Dolny zakres = 12 - 2,58 (18) = -34% 

Wynik oznacza, że ​​w 99% przypadków zwrot z funduszu wspólnego inwestowania będzie się mieścić w przedziale od 58% do -34%.

Trafność i zastosowanie

Centralne twierdzenie graniczne jest niezwykle przydatne, ponieważ pozwala badaczowi przewidzieć średnią i odchylenie standardowe całej populacji za pomocą próby. Ponieważ próbka jest wybierana losowo z całej populacji, a wielkość próby jest większa niż 30, wówczas dowolny losowy rozmiar próby pobrany z populacji będzie zbliżał się do normalnego rozkładu, co pomoże w testowaniu hipotezy i konstruowaniu przedziału ufności dla hipotezy testowanie. Na podstawie centralnego twierdzenia granicznegobadacz jest w stanie wybrać dowolną próbę losową z całej populacji, a gdy wielkość próby jest większa niż 30, może przewidzieć populację za pomocą próby, ponieważ próbka będzie miała rozkład normalny, a także jako średnia i odchylenie standardowe próby będzie takie samo jak średnia i odchylenie standardowe populacji.