Rozkład wykładniczy

Co to jest rozkład wykładniczy?

Rozkład wykładniczy odnosi się do ciągłego i stałego rozkładu prawdopodobieństwa, który jest w rzeczywistości używany do modelowania okresu czasu, w którym dana osoba musi czekać, zanim nastąpi dane zdarzenie, a rozkład ten jest ciągłym odpowiednikiem rozkładu geometrycznego, który jest zamiast tego odrębny.

Formuła rozkładu wykładniczego

Ciągła zmienna losowa x (z parametrem skali λ> 0) ma rozkład wykładniczy tylko wtedy, gdy jej funkcję gęstości prawdopodobieństwa można wyrazić przez pomnożenie parametru skali do funkcji wykładniczej parametru skali minus i x dla wszystkich x większych niż lub równa zero, w przeciwnym razie funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest równa zero.

Matematycznie funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest reprezentowana jako:

taka, że ​​średnia jest równa 1 / λ, a wariancja jest równa 1 / λ2.

Obliczanie rozkładu wykładniczego (krok po kroku)

  • Krok 1: Po pierwsze, spróbuj dowiedzieć się, czy dane zdarzenie ma charakter ciągły i niezależny oraz czy występuje w mniej więcej stałym tempie. Każde praktyczne zdarzenie zapewni, że zmienna jest większa lub równa zero.
  • Krok 2: Następnie określ wartość parametru skali, która niezmiennie jest odwrotnością średniej.
    • λ = 1 / średnia
  • Krok 3: Następnie pomnóż parametr skali λ i zmienną x, a następnie oblicz funkcję wykładniczą iloczynu pomnożoną przez minus jeden, tj. E– λ * x.
  • Krok 4: Na koniec funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest obliczana przez pomnożenie funkcji wykładniczej i parametru skali.

Jeśli powyższy wzór jest prawdziwy dla wszystkich x większych lub równych zero, to x jest rozkładem wykładniczym.

Przykład

Możesz pobrać ten szablon programu Excel z rozkładem wykładniczym tutaj - szablon programu Excel z rozkładem wykładniczym

Weźmy przykład, x, czyli ilość czasu (w minutach) potrzebna pracownikowi biura na dostarczenie przesyłki z biurka kierownika do urzędnika. Zakłada się, że funkcja czasu ma rozkład wykładniczy ze średnim czasem równym pięciu minutom.

Zakładając, że x jest ciągłą zmienną losową od czasu mierzenia czasu.

Średnia, μ = 5 minut

Dlatego parametr skali, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Stąd wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa można wyprowadzić jako:

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Teraz oblicz funkcję prawdopodobieństwa przy różnych wartościach x, aby wyznaczyć krzywą rozkładu.

Dla x = 0

wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa dla x = 0 będzie,

Podobnie, oblicz rozkład wykładniczy prawdopodobieństwa dla x = 1 do x = 30

  • Dla x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • Dla x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Dla x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Dla x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Dla x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Dla x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Dla x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Dla x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Dla x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Dla x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Dla x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Dla x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Dla x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Dla x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Dla x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Dla x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Dla x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Dla x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Dla x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Dla x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Dla x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Dla x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Dla x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Dla x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Dla x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Dla x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Dla x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Dla x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Dla x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Dla x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Dla x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Wyprowadziliśmy krzywą rozkładu w następujący sposób,

Trafność i zastosowanie

Chociaż założenie stałej stopy procentowej jest bardzo rzadko spełnione w rzeczywistych scenariuszach, to jeśli przedział czasu jest tak dobrany, że tempo jest z grubsza stałe, to rozkład wykładniczy można wykorzystać jako dobry model przybliżony. Ma wiele innych zastosowań z zakresu fizyki, hydrologii itp.

W statystyce i teorii prawdopodobieństwa wyrażenie rozkładu wykładniczego odnosi się do rozkładu prawdopodobieństwa używanego do określenia czasu między dwoma kolejnymi zdarzeniami, które zachodzą niezależnie i w sposób ciągły ze stałą średnią szybkością. Jest to jeden z szeroko stosowanych rozkładów ciągłych i jest ściśle powiązany z rozkładem Poissona w programie Excel.