Wzór testu Z w statystykach | Obliczanie krok po kroku (przykłady)

Wzór do obliczenia testu Z w statystykach

Test Z w statystyce odnosi się do testu hipotezy, który służy do określenia, czy obliczone średnie z dwóch próbek są różne, w przypadku gdy odchylenia standardowe są dostępne, a próbka jest duża.

Z = (x - μ) / ơ

gdzie x = dowolna wartość z populacji

μ = średnia populacji
ơ = odchylenie standardowe populacji

W przypadku próbki wzór na statystykę wartości w teście z oblicza się odejmując średnią z próbki od wartości x, a następnie dzieląc wynik przez odchylenie standardowe próbki. Matematycznie jest reprezentowany jako

Z = (x - x_mean ) / s

gdzie

x = dowolna wartość z próbki
x_mean = próbka średnia
s = odchylenie standardowe próbki

Obliczanie testu Z (krok po kroku)

Wzór na statystyki testu z dla populacji jest wyprowadzany przy użyciu następujących kroków:

Krok 1: Najpierw obliczyć średnie populacji i odchylenie standardowe populacji na podstawie obserwacji zawartej w średniej populacji, a każda obserwacja jest oznaczona przez x _i . Całkowita liczba obserwacji w populacji jest oznaczona przez N.

Średnia liczba ludności,

Odchylenie standardowe populacji,

Krok 2: Na koniec statystyka testu z jest obliczana poprzez odjęcie średniej populacji od zmiennej, a następnie wynik jest dzielony przez odchylenie standardowe populacji, jak pokazano poniżej.

Z = (x - μ) / ơ

Wzór na statystyki testu z dla próbki jest wyprowadzany przy użyciu następujących kroków:

Krok 1: Najpierw obliczyć średnią próbki i odchylenie standardowe próbki tak samo jak powyżej. Tutaj całkowita liczba obserwacji w próbie jest oznaczona przez n tak, że n <N.

Próbka średnia,

Odchylenie standardowe próbki,

Krok 2: Na koniec statystyka testu z jest obliczana przez odjęcie średniej próbki od wartości x, a następnie wynik jest dzielony przez odchylenie standardowe próbki, jak pokazano poniżej.

Z = (x - x_mean ) / s

Przykłady

Możesz pobrać ten szablon Z Test Formula Excel tutaj - Z Test Formula Excel Template

Przykład 1

Załóżmy, że populacja uczniów w szkole przyszła na sprawdzian klasowy. Średni wynik w teście wynosi 75, a odchylenie standardowe wynosi 15. Wyznacz wynik testu z dla Davida, który uzyskał 90 punktów w teście.

Dany,

Średnia populacji, μ = 75
Odchylenie standardowe populacji, ơ = 15

Dlatego statystyki testu z można obliczyć jako:

Z = (90 - 75) / 15

Statystyki testu Z będą -

Z = 1

Dlatego wynik testu Davida jest o jedno odchylenie standardowe powyżej średniego wyniku populacji, tj. Zgodnie z tabelą z-score, 84,13% uczniów uzyskało mniej wyniku niż David.

Przykład nr 2

Weźmy na przykład 30 uczniów, którzy zostali wybrani jako część próbnego zespołu do ankiety, aby sprawdzić, ile ołówków było używanych w ciągu tygodnia. Określ wynik testu z dla trzeciego ucznia na podstawie udzielonych odpowiedzi: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Dany,

x = 5, ponieważ odpowiedź trzeciego ucznia wynosi 5
Wielkość próby, n = 30

Średnia próbna, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Średnia = 4,17

Teraz odchylenie standardowe próbki można obliczyć za pomocą powyższego wzoru.

ơ = 1,90

Dlatego wynik testu z dla trzeciego ucznia można obliczyć jako:

Z = (x - x) / s

Z = (5–17) / 1,90
Z = 0,44

Dlatego wykorzystanie przez trzeciego ucznia wynosi 0,44-krotność odchylenia standardowego powyżej średniego wykorzystania próbki, tj. Zgodnie z tabelą z-score 67% uczniów używa mniej ołówków niż trzeci uczeń.

Przykład nr 3

Poniżej podano dane do obliczenia statystyk testu Z.

Możesz zapoznać się z poniższym arkuszem Excela, aby uzyskać szczegółowe obliczenia statystyk testu Z.

Trafność i zastosowania

Zrozumienie pojęcia statystyki testu z jest bardzo ważne, ponieważ jest ono zwykle używane zawsze wtedy, gdy jest dyskusyjne, czy statystyka testowa jest zgodna z rozkładem normalnym w ramach danej hipotezy zerowej. Należy jednak pamiętać, że test z jest stosowany tylko wtedy, gdy wielkość próbki jest większa niż 30, w przeciwnym razie stosuje się test t.