Formuła rozkładu dwumianowego | Obliczanie krok po kroku

Formuła do obliczenia rozkładu dwumianowego

Formuła rozkładu dwumianowego służy do obliczania prawdopodobieństwa uzyskania x sukcesów w n próbach eksperymentu dwumianowego, które są niezależne, a prawdopodobieństwo jest wyliczane przez połączenie liczby prób i liczby sukcesów reprezentowanych przez nCx jest mnożone przez prawdopodobieństwo podniesionego sukcesu do potęgi liczby sukcesów reprezentowanej przez px, która jest dalej mnożona przez prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób reprezentowanych przez (1-p) nx.

Prawdopodobieństwo uzyskania x sukcesów w n niezależnych próbach eksperymentu dwumianowego określa następujący wzór rozkładu dwumianowego:

P (X) = _n C _x px (1-p) nx

gdzie p to prawdopodobieństwo sukcesu

W powyższym równaniu użyto _n C _x , co jest niczym innym jak wzorem kombinacji. Wzór do obliczania kombinacji jest podany jako _n C _x = n! / x! (nx)! gdzie n oznacza liczbę pozycji (niezależne próby), a x oznacza liczbę elementów wybieranych jednocześnie (sukcesy).

W przypadku, gdy n = 1 w rozkładzie dwumianowym, rozkład jest znany jako rozkład Bernoulliego. Średnia rozkładu dwumianowego to np. Wariancja rozkładu dwumianowego wynosi np (1-p).

Obliczanie rozkładu dwumianowego (krok po kroku)

Obliczenie rozkładu dwumianowego można uzyskać, wykonując następujące cztery proste kroki:

Krok 1: Oblicz kombinację między liczbą prób i liczbą sukcesów. Wzór na _n C _x to gdzie n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Dla liczby n silnię liczby n można zapisać jako, n! = n * (n-1)! Na przykład 5! to 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Krok 2: Oblicz prawdopodobieństwo sukcesu podniesione do potęgi liczby sukcesów równej px.
Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo niepowodzenia podniesione do potęgi różnicy między liczbą sukcesów a liczbą prób. Prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1-p. Zatem odnosi się to do uzyskania (1-p) nx
Krok 4: Znajdź wynik uzyskany w kroku 1, kroku 2 i kroku 3.

Przykłady

Możesz pobrać szablon Excela z formułą rozkładu dwumianowego - Szablon programu Excel z formułą rozkładu dwumianowego

Przykład 1

Liczba prób (n) wynosi 10. Prawdopodobieństwo sukcesu (p) wynosi 0,5. Wykonaj obliczenia rozkładu dwumianowego, aby obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 6 sukcesów.

Rozwiązanie:

Użyj następujących danych do obliczenia rozkładu dwumianowego.

Obliczenie rozkładu dwumianowego można wykonać w następujący sposób,

P (x = 6) = ₁₀ C ₆ * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

= 210 * 0,015625 * 0,0625

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 6 sukcesów będzie:

P (x = 6) = 0,205

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 6 sukcesów wynosi 0,2051

Przykład nr 2

Menedżer towarzystwa ubezpieczeniowego przegląda dane polis sprzedawanych przez pracujących pod nim sprzedawców ubezpieczeń. Stwierdza, że 80% kupujących ubezpieczenie komunikacyjne to mężczyźni. Chce się dowiedzieć, że w przypadku losowego wyboru 8 właścicieli ubezpieczeń komunikacyjnych, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 z nich to mężczyźni.

Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, jakie są n, p i x.

Obliczenie rozkładu dwumianowego można wykonać w następujący sposób,

P (x = 5) = ₈ C ₅ * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

= 56 * 0,32768 * 0,008

Prawdopodobieństwo dokładnie 5 sukcesów będzie:

P (x = 5) = 0,14680064

Prawdopodobieństwo, że dokładnie 5 posiadaczy ubezpieczeń komunikacyjnych to mężczyźni to 0,14680064.

Przykład nr 3

Dyrekcja szpitala jest podekscytowana wprowadzeniem nowego leku do leczenia pacjentów onkologicznych, ponieważ szansa na skuteczne wyleczenie osoby jest bardzo wysoka. Prawdopodobieństwo skutecznego leczenia pacjenta lekiem wynosi 0,8. Lek podaje się 10 pacjentom. Znajdź prawdopodobieństwo skutecznego wyleczenia 9 lub więcej pacjentów.

Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, co to jest n, p i x.

Musimy znaleźć prawdopodobieństwo skutecznego wyleczenia 9 lub więcej pacjentów. W ten sposób skutecznie leczy 9 lub 10 pacjentów

x (liczba, dla której musisz znaleźć prawdopodobieństwo) = 9 lub x = 10

Musimy znaleźć P (9) i P (10)

Obliczenie rozkładu dwumianowego w celu znalezienia P (x = 9) można wykonać w następujący sposób:

P (x = 9) = ₁₀ C ₉ * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

= 10 * 0,134217728 * 0,2

Prawdopodobieństwo, że 9 pacjentów będzie:

P (x = 9) = 0,2684

Obliczenie rozkładu dwumianowego w celu znalezienia P (x = 10) można wykonać w następujący sposób:

P (x = 10) = ₁₀ C ₁₀ * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

= 1 * 0,107374182 *

Prawdopodobieństwo 10 pacjentów będzie:

P (x = 10) = 0,1074

Dlatego P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Zatem prawdopodobieństwo leczenia tym lekiem 9 lub więcej pacjentów wynosi 0,375809638.

Kalkulator rozkładu dwumianowego

Możesz użyć następującego kalkulatora rozkładu dwumianowego.

n
p
x
Formuła rozkładu dwumianowego =

Formuła rozkładu dwumianowego =	_n C _x * px * (1 -p) nx
	₀ C ₀ * 0 0 * (1- 0) 0-0 =	0

Trafność i zastosowanie

Są tylko dwa wyniki
Prawdopodobieństwo każdego wyniku pozostaje stałe od próby do próby
Istnieje ustalona liczba prób
Każda próba jest niezależna, tzn. Wyklucza się wzajemnie
Zapewnia nam rozkład częstotliwości możliwej liczby pomyślnych wyników w danej liczbie prób, przy czym każda z tych danych prób ma takie samo prawdopodobieństwo sukcesu.
Każda próba w eksperymencie dwumianowym może dać tylko dwa możliwe wyniki. Stąd nazwa to „dwumian”. Jeden z tych wyników jest znany jako sukces, a drugi jako porażka. Na przykład ludzie chorzy mogą zareagować na leczenie lub nie.
Podobnie, gdy rzucamy monetą, możemy mieć tylko dwa rodzaje wyników: orła lub reszka. Rozkład dwumianowy jest rozkładem dyskretnym używanym w statystykach, który różni się od rozkładu ciągłego.

Przykładem eksperymentu dwumianowego jest rzucenie, powiedzmy, trzykrotnie monetą. Kiedy rzucamy monetą, możliwe są tylko 2 wyniki - orzeł i reszka. Prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi 0,5. Ponieważ moneta jest rzucana trzykrotnie, liczba prób jest ustalona i wynosi 3. Inne rzuty nie mają wpływu na prawdopodobieństwo jednego rzutu.

Rozkład dwumianowy znajduje zastosowanie w statystyce nauk społecznych. Służy do tworzenia modeli dla dychotomicznych zmiennych wyniku, w przypadku których istnieją dwa wyniki. Przykładem tego jest to, czy wybory wygraliby Republikanie czy Demokraci.

Formuła rozkładu dwumianowego w programie Excel (z szablonem programu Excel)

Saurabh dowiedział się o równaniu rozkładu dwumianowego w szkole. Chce omówić tę koncepcję ze swoją siostrą i założyć się z nią. Myślał, że rzuci bezstronną monetą 10 razy. Chce postawić 100 $ na uzyskanie dokładnie 5 reszek w 10 rzutach. Na potrzeby tego zakładu chce obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 5 reszek w 10 rzutach.

Rozwiązanie: Najpierw musimy dowiedzieć się, co to jest n, p i x.

Istnieje wbudowana formuła rozkładu dwumianowego, czyli Excel

To BINOM.DIST (liczba sukcesów, prób, prawdopodobieństwo sukcesu, FAŁSZ).

Na przykład rozkład dwumianowy wyglądałby tak:

= ROZKŁ.DWUM (B2, B3, B4, FAŁSZ), gdzie komórka B2 reprezentuje liczbę sukcesów, komórka B3 reprezentuje liczbę prób, a komórka B4 przedstawia prawdopodobieństwo sukcesu.

Dlatego obliczenie rozkładu dwumianowego będzie:

P (x = 5) = 0,24609375

Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 5 ogonów w 10 rzutach wynosi 0,24609375

Uwaga: FAŁSZ w powyższym wzorze oznacza funkcję masy prawdopodobieństwa. Oblicza prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie n sukcesów z n niezależnych prób. TRUE oznacza funkcję dystrybucji skumulowanej. Oblicza prawdopodobieństwo wystąpienia co najwyżej x sukcesów z n niezależnych prób.