Formuła do obliczenia rozkładu T Studenta
Wzór na obliczenie rozkładu T (popularnie zwanego również rozkładem T Studenta) przedstawiono jako Odejmowanie średniej populacji (średniej z drugiej próbki) od średniej z próbki (średniej z pierwszej próbki), czyli [x-bar - μ], co jest następnie dzielona przez odchylenie standardowe średnich, które jest początkowo podzielone przez pierwiastek kwadratowy z n będący liczbą jednostek w tej próbce [s ÷ √ (n)].
Rozkład T jest rodzajem rozkładu, który wygląda prawie jak krzywa rozkładu normalnego lub krzywa dzwonowa, ale z nieco grubszym i krótszym ogonem. Gdy wielkość próby jest mała, wówczas ten rozkład zostanie użyty zamiast rozkładu normalnego.
Gdzie,
- x̄ jest średnią próbki
- μ to średnia populacji
- s to odchylenie standardowe
- n to wielkość danej próbki
Obliczanie rozkładu T.
Obliczenie rozkładu t-Studenta jest dość proste, ale tak, wartości są wymagane. Na przykład potrzebna jest średnia populacji, która jest średnią wszechświata, która jest niczym innym jak średnią populacją, podczas gdy średnia próbki jest wymagana do sprawdzenia autentyczności populacji oznacza, czy stwierdzenie zgłoszone na podstawie populacji jest rzeczywiście prawdziwe i próbka, jeśli została pobrana będzie reprezentować to samo stwierdzenie. Tak więc wzór na rozkład t tutaj odejmuje średnią z próby od średniej populacji, a następnie dzieli ją przez odchylenie standardowe i mnoży przez pierwiastek kwadratowy z wielkości próby, aby ustandaryzować wartość.
Jednakże, ponieważ nie ma zakresu dla obliczania rozkładu t, wartość może być dziwna i nie będziemy w stanie obliczyć prawdopodobieństwa, ponieważ rozkład t-Studenta ma ograniczenia związane z uzyskaniem wartości, a zatem jest przydatny tylko w przypadku mniejszej próby. Aby obliczyć prawdopodobieństwo po uzyskaniu wyniku, należy znaleźć wartość tego z tabeli rozkładu t studenta.
Przykłady
Możesz pobrać ten szablon T Distribution Excel tutaj - T Distribution Excel TemplatePrzykład 1
Weź pod uwagę, że otrzymałeś następujące zmienne:
- Średnia populacji = 310
- Odchylenie standardowe = 50
- Wielkość próby = 16
- Średnia próbna = 290
Oblicz wartość rozkładu t.
Rozwiązanie:
Użyj poniższych danych do obliczenia rozkładu T.
Tak więc obliczenie rozkładu T można wykonać w następujący sposób:
Tutaj wszystkie wartości są podane, po prostu musimy je uwzględnić.
Możemy użyć wzoru na rozkład t
Wartość t = (290 - 310) / (50 / √16)
Wartość T = -1,60
Przykład nr 2
Firma SRH twierdzi, że jej pracownicy na poziomie analityków zarabiają średnio 500 dolarów na godzinę. Wybrano próbę 30 pracowników na poziomie analityków, a ich średnie zarobki na godzinę wyniosły 450 USD z odchyleniem próby równym 30 USD i zakładając, że ich twierdzenie jest prawdziwe, obliczyć t -wartość dystrybucji, która zostanie wykorzystana do obliczenia prawdopodobieństwa t - dystrybucja.
Rozwiązanie:
Użyj poniższych danych do obliczenia rozkładu T.
Tak więc obliczenie rozkładu T można wykonać w następujący sposób:
Tutaj wszystkie wartości są podane, po prostu musimy je uwzględnić.
Możemy użyć wzoru na rozkład t
Wartość t = (450 - 500) / (30 / √30)
Wartość T = -9,13
Stąd wartość t score wynosi -9,13
Przykład nr 3
Rada Universal College przeprowadziła test poziomu IQ dla 50 losowo wybranych profesorów. Wynik, jaki uzyskali z tego, to średni wynik poziomu IQ równy 120 z wariancją 121. Załóżmy, że wynik t wynosi 2,407. Jaka jest średnia populacji dla tego testu, która uzasadniałaby wartość t score równą 2,407?
Rozwiązanie:
Użyj poniższych danych do obliczenia rozkładu T.
Tutaj wszystkie wartości są podane wraz z wartością t, musimy tym razem obliczyć średnią populacji zamiast wartości t.
Ponownie użylibyśmy dostępnych danych i obliczylibyśmy średnią populację, wstawiając wartości podane w poniższym wzorze.
Średnia próby wynosi 120, średnia populacji jest nieznana, odchylenie standardowe próby będzie pierwiastkiem kwadratowym wariancji, który będzie wynosił 11, a wielkość próby to 50.
Zatem obliczenie średniej populacji (μ) można wykonać w następujący sposób:
Możemy użyć wzoru na rozkład t
Wartość t = (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - μ) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Średnia populacji (μ) wyniesie -
μ = 116,26
Stąd wartość dla średniej populacji wyniesie 116,26
Trafność i zastosowanie
Rozkład T (i związane z nim wartości t-score) jest używany w testowaniu hipotez, gdy trzeba dowiedzieć się, czy należy odrzucić lub zaakceptować hipotezę zerową.
Na powyższym wykresie region centralny będzie obszarem akceptacji, a region ogonowy obszarem odrzucenia. Na tym wykresie, który jest testem 2-stronnym, regionem odrzucenia będzie zacieniowany na niebiesko. Obszar w obszarze ogona można opisać za pomocą wyników t lub z-score. Weźmy przykład, obraz po lewej przedstawia obszar w ogonach o wartości pięciu procent (czyli 2,5% po obu stronach). Wynik z powinien wynosić 1,96 (przyjmując wartość z tabeli z), co oznacza 1,96 odchylenia standardowego od średniej lub średniej. Hipoteza zerowa może zostać odrzucona, jeśli wartość z score jest mniejsza niż wartość -1,96 lub wartość z score jest większa niż 1,96.
Ogólnie, rozkład ten należy stosować w sposób opisany wcześniej, gdy ma się mniejszą próbę (przeważnie poniżej 30) lub nie wiadomo, jaka jest wariancja populacji lub odchylenie standardowe populacji. Ze względów praktycznych (czyli w świecie rzeczywistym) byłoby to w większości przypadków. Jeśli wielkość dostarczonej próbki jest wystarczająco duża, wówczas 2 rozkłady będą praktycznie podobne.
