Co to jest krzywa dzwonowa?
Krzywa Bell to normalny rozkład prawdopodobieństwa zmiennych, który jest wykreślany na wykresie i przypomina kształt dzwonka, w którym najwyższy lub najwyższy punkt krzywej reprezentuje najbardziej prawdopodobne zdarzenie spośród wszystkich danych serii.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
Gdzie,
- μ jest średnią
- σ to odchylenie standardowe
- π wynosi 3,14159
- e wynosi 2,71828
Wyjaśnienie
- Średnia jest oznaczona przez μ, co oznacza środek lub środek rozkładu.
- Pozioma symetria wokół pionowej linii, która wynosi x = μ, ponieważ w wykładniku jest kwadrat.
- Odchylenie standardowe jest oznaczone σ i jest związane z rozprzestrzenianiem się rozkładu. Wraz ze wzrostem σ rozkład normalny będzie się bardziej rozprzestrzeniał. W szczególności szczyt rozkładu nie jest tak wysoki, a ogon rozkładu powinien stać się grubszy.
- π jest stałą pi i ma nieskończoność, która nie jest powtarzającym się rozwinięciem dziesiętnym.
- e reprezentuje inną stałą, a także jest transcendentalne i irracjonalne, jak pi.
- W wykładniku jest znak niedodatni, a pozostałe wyrazy są podniesione do kwadratu w wykładniku. Co oznacza, że wykładnik zawsze będzie ujemny. Z tego powodu funkcja jest funkcją rosnącą dla wszystkich x średnia μ.
- Inna pozioma asymptota odpowiada poziomej linii y, która jest równa 0, co oznaczałoby, że wykres funkcji nigdy nie dotknie osi x i będzie miał zero.
- Pierwiastek kwadratowy w Excelu znormalizuje formułę, co oznacza, że gdy całkuje się funkcję przeszukiwania obszaru pod krzywą, gdzie cały obszar będzie pod krzywą i jest to jeden, co odpowiada 100%.
- Ten wzór jest powiązany z rozkładem normalnym i służy do obliczania prawdopodobieństw.
Przykłady
Możesz pobrać ten szablon programu Excel Formuła krzywej dzwonowej tutaj - Szablon programu Excel formuła krzywej dzwonowejPrzykład 1
Rozważ podaną ci średnią 950, odchylenie standardowe 200. Musisz obliczyć y dla x = 850, używając równania krzywej dzwonowej.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń
Po pierwsze, otrzymujemy wszystkie wartości, tj. Średnią jako 950, odchylenie standardowe jako 200 i x jako 850, wystarczy wpisać liczby do wzoru i spróbować obliczyć y.
Wzór na krzywą w kształcie dzwonu, jak poniżej:
y = 1 / (200√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
będziesz -
y = 0,0041
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon programu Excel) mamy wartość y równą 0,0041.
Przykład nr 2
Sunita jest biegaczką i przygotowuje się do nadchodzących igrzysk olimpijskich i chce ustalić, czy wyścig, w którym będzie startować, ma doskonałe obliczenia czasowe, ponieważ podzielone opóźnienie może zapewnić jej złoto na igrzyskach olimpijskich. Jej brat jest statystykiem i zauważył, że średni czas dla jej siostry to 10,33 sekundy, podczas gdy standardowe odchylenie jej czasu wynosi 0,57 sekundy, co jest dość ryzykowne, ponieważ takie opóźnienie podziału może spowodować, że zdobędzie złoto na igrzyskach olimpijskich. Korzystając z równania krzywej w kształcie dzwonu, jakie jest prawdopodobieństwo, że Sunita ukończy wyścig w 10,22 sekundy?
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń
Po pierwsze, otrzymujemy wszystkie wartości, tj. Średnią 10,33 sekundy, odchylenie standardowe 0,57 sekundy i x 10,22, wystarczy wstawić liczby do wzoru i spróbować obliczyć y.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
y = 1 / (0,57√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
będziesz -
y = 0,7045
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon Excela) mamy wartość y równą 0,7045.
Przykład nr 3
Hari-baktii Limited jest firmą audytorską. Niedawno przeszedł ustawowe badanie banku ABC i zauważył, że w ciągu ostatnich kilku audytów wybrali nieprawidłową próbę, która wprowadzała w błąd populację, na przykład w przypadku należności próbka, którą pobrali, przedstawiała, że należność była prawdziwa, ale później odkryto, że należna populacja miała wiele fikcyjnych wpisów.
Więc teraz próbują przeanalizować, jakie jest prawdopodobieństwo pobrania złej próbki, która uogólniłaby populację jako poprawną, mimo że próbka nie była poprawną reprezentacją tej populacji. Mają asystenta artykułu, który jest dobry w statystykach, a ostatnio nauczył się o równaniu krzywej dzwonowej.
Postanawia więc użyć tego wzoru, aby znaleźć prawdopodobieństwo pobrania co najmniej 7 nieprawidłowych próbek. Wszedł do historii firmy i stwierdził, że średnia niepoprawna próbka, którą pobierają z populacji, wynosi od 5 do 10, a odchylenie standardowe wynosi 2.
Rozwiązanie:
Użyj następujących danych do obliczeń
Najpierw musimy wziąć średnią z 2 podanych liczb, tj. Dla średniej równej (5 + 10) / 2, która wynosi 7,50, odchylenia standardowego jako 2 i x jako 7, po prostu musimy wstawić liczby do wzoru i spróbować obliczyć y.
Wzór na krzywą dzwonową jak poniżej:
y = 1 / (2√2 * 3,14159) ^ e- (7 - 7,5) / 2 * (2 ^ 2)
będziesz -
y = 0,2096
Po wykonaniu powyższej matematyki (sprawdź szablon Excela) mamy wartość y równą 0,2096
Jest więc 21% szans, że tym razem również oni mogli pobrać 7 nieprawidłowych próbek do audytu.
Trafność i zastosowania
Ta funkcja zostanie wykorzystana do opisu zdarzeń fizycznych, tj. Liczba zdarzeń jest ogromna. Mówiąc prościej, można nie być w stanie przewidzieć, jaki będzie wynik elementu, jeśli jest cała masa obserwacji, ale można przewidzieć, co zrobią one w całości. Weźmy przykład, przypuśćmy, że ktoś ma dzban z gazem o stałej temperaturze, rozkład normalny lub krzywa dzwonowa pozwoli tej osobie obliczyć prawdopodobieństwo, że jedna cząstka poruszy się z określoną prędkością.
Analityk finansowy często używa normalnego rozkładu prawdopodobieństwa lub wypowiada krzywą dzwonową podczas analizy zwrotów ogólnej wrażliwości rynku lub papierów wartościowych.
Np. Akcje, które wyświetlają krzywą dzwonową, to zazwyczaj akcje blue chipów, które mają mniejszą zmienność i często więcej wzorców zachowań, które powinny być przewidywalne, a zatem wykorzystują normalny rozkład prawdopodobieństwa lub krzywą dzwonową poprzednich zwrotów akcji. założenia dotyczące oczekiwanych zwrotów.
